(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ の証明：二項定理と定義から導く方法

数学2B微分法公式の成立 更新
目次

べき関数の微分公式

nn が正の整数のとき

(xn)′=n xn−1 (x^n)'=n\,x^{n-1}

この記事の要点

  • 微分は「割線の傾き f(x+h)−f(x)h\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} で h→0h\to 0 としたもの」。f(x)=xnf(x)=x^n ではこの分子を二項定理で展開する。
  • xnx^n が引き算で消え、hh を1個だけ含む項 nxn−1hn x^{n-1}h が hh で割られて残る。
  • 残りの項は hh を含むので、h→0h\to 0 で 0 になる。

数学IIの微分で、最初に覚える公式が (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} です。「指数を前に出して、指数を1つ減らす」と機械的に使っている人が多いのですが、なぜそうなるのかを一度たどっておくと、忘れにくく、応用問題でも迷いません。

この記事では、導関数の定義と二項定理だけで公式を導きます。二項定理や nCr_nC_r の意味は nCr の公式の導出 が前提になります。

べき関数の微分公式が意味すること

f(x)=xnf(x)=x^n のグラフの xx 座標が xx の点での接線の傾きが f′(x)f'(x) です。接線の傾きは、近くの点 x+hx+h との間の割線の傾き

f(x+h)−f(x)h \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

で h→0h\to 0 としたものです。f(x)=x3f(x)=x^3 で図にすると、次のようになります。

y = x³ の割線（点線）の傾きは、h を小さくすると接線（実線）の傾きに近づく

公式に n=2,3n=2,3 を入れると、(x2)′=2x(x^2)'=2x、(x3)′=3x2(x^3)'=3x^2 です。たとえば x=1x=1 での傾きは、x2x^2 なら 22、x3x^3 なら 33 になります。

(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ の証明：二項定理で展開する

f(x)=xnf(x)=x^n の導関数を、定義から求めます。

f′(x)=lim⁡h→0(x+h)n−xnh f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}

分子の (x+h)n(x+h)^n を二項定理で展開します。これが変形の中心です。

(x+h)n=nC0 xn+nC1 xn−1h+nC2 xn−2h2+⋯+nCn hn (x+h)^n={}_n\mathrm{C}_0\,x^n+{}_n\mathrm{C}_1\,x^{n-1}h+{}_n\mathrm{C}_2\,x^{n-2}h^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n\,h^n

nC0=1{}_n\mathrm{C}_0=1、nC1=n{}_n\mathrm{C}_1=n、nCn=1{}_n\mathrm{C}_n=1 なので、次のように書けます。

(x+h)n=xn+n xn−1h+nC2 xn−2h2+⋯+hn (x+h)^n=x^n+n\,x^{n-1}h+{}_n\mathrm{C}_2\,x^{n-2}h^2+\cdots+h^n

これを分子に代入し、xnx^n を引くと、先頭の xnx^n が消えます。

(x+h)n−xn=n xn−1h+nC2 xn−2h2+⋯+hn (x+h)^n-x^n=n\,x^{n-1}h+{}_n\mathrm{C}_2\,x^{n-2}h^2+\cdots+h^n

どの項も hh を含むので、hh でくくれます。h≠0h\neq 0 のもとで分子を hh で割ると

(x+h)n−xnh=n xn−1+nC2 xn−2h+nC3 xn−3h2+⋯+hn−1 \frac{(x+h)^n-x^n}{h}=n\,x^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2\,x^{n-2}h+{}_n\mathrm{C}_3\,x^{n-3}h^2+\cdots+h^{n-1}

となります。ここで h→0h\to 0 とします。右辺の第2項以降はすべて hh を1個以上含むので 0 に近づきます。残るのは第1項だけです。

f′(x)=n xn−1 f'(x)=n\,x^{n-1}

nxn−1n x^{n-1} の係数 nn は nC1{}_n\mathrm{C}_1 から、指数 n−1n-1 は「hh を1個選んだ残りの xx が n−1n-1 個」から出てくる のです。

二項定理の項を「h の個数」で分けると、h が1個の項だけが残る

よくある間違い

  • (x3)′=3x3(x^3)'=3x^3 のように、指数を n−1n-1 に減らし忘れる。hh で割るので xx は1つ減る。
  • 定数の微分を (5)′=5(5)'=5 とする。定数のグラフは水平な直線で傾きは 0 なので、正しくは (5)′=0(5)'=0。

もう一つの導き方：因数分解で導く

x=ax=a での微分係数を、x→ax\to a の形の定義で書く方法もあります。

f′(a)=lim⁡x→axn−anx−a f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}

分子は次のように因数分解できます（右辺を展開すると、隣り合う項が打ち消し合って xn−anx^n-a^n になります）。

xn−an=(x−a)(xn−1+xn−2a+xn−3a2+⋯+an−1) x^n-a^n=(x-a)\left(x^{n-1}+x^{n-2}a+x^{n-3}a^2+\cdots+a^{n-1}\right)

x≠ax\neq a なので x−ax-a で約分すると、かっこの中の nn 個の項は、x→ax\to a のとき、どれも an−1a^{n-1} に近づきます。したがって

f′(a)=an−1+an−1+⋯+an−1⏟n 個=n an−1 f'(a)=\underbrace{a^{n-1}+a^{n-1}+\cdots+a^{n-1}}_{n\text{ 個}}=n\,a^{n-1}

となり、同じ結果が得られました。この方法は「nn 個の項がそろって an−1a^{n-1} になる」ことが見えやすく、二項定理を使わなくてすみます。

べき関数の微分公式を使う例題

例題

f(x)=x4f(x)=x^4 について、

(1) 導関数 f′(x)f'(x) を求めよ。

(2) 曲線 y=f(x)y=f(x) 上の点 (2, 16)(2,\,16) における接線の方程式を求めよ。

(1) 公式で n=4n=4 とします。

f′(x)=4x4−1=4x3 f'(x)=4x^{4-1}=4x^3

(2) 接線の傾きは x=2x=2 での微分係数です。

f′(2)=4⋅23=32 f'(2)=4\cdot 2^3=32

点 (2,16)(2,16) を通り傾き 3232 の直線なので

y−16=32(x−2) y-16=32(x-2) y=32x−48 y=32x-48

答えは (1) f′(x)=4x3f'(x)=4x^3、(2) y=32x−48y=32x-48 です。

べき関数の微分公式の発展的な使い方：共通接線

x3x^3 の接線と x2x^2 の接線を組み合わせ、文字を含む場合分けまで進めます。公式 (x3)′=3x2(x^3)'=3x^2、(x2)′=2x(x^2)'=2x をどう使うかが見どころです。

発展例題

aa を定数とし、2つの曲線 C1: y=x3C_1:\ y=x^3、C2: y=x2+aC_2:\ y=x^2+a を考える。

(1) C1C_1 上の点 (t, t3)(t,\,t^3) における接線 ℓ\ell の方程式を求めよ。

(2) ℓ\ell が C2C_2 にも接するための条件を、tt と aa の式で表せ。

(3) C1C_1 と C2C_2 の共通接線の本数を、aa の値によって場合分けして求めよ。

(1) (x3)′=3x2(x^3)'=3x^2 より、x=tx=t での傾きは 3t23t^2 です。

y−t3=3t2(x−t) y-t^3=3t^2(x-t) y=3t2x−2t3 y=3t^2x-2t^3

(2) ℓ\ell が放物線 C2C_2 に接するのは、C2C_2 と ℓ\ell の式を連立した2次方程式が重解をもつときです。連立して整理します。

x2+a=3t2x−2t3 x^2+a=3t^2x-2t^3 x2−3t2x+2t3+a=0 x^2-3t^2x+2t^3+a=0

判別式を DD とすると、D=0D=0 が条件です。

D=9t4−4(2t3+a)=0 D=9t^4-4\left(2t^3+a\right)=0

これを aa について解いて

a=94t4−2t3 a=\frac{9}{4}t^4-2t^3

(3) (2) の右辺を g(t)g(t) とおきます。共通接線は、g(t)=ag(t)=a をみたす実数 tt ごとに1本ずつ決まります（ℓ\ell の傾き 3t23t^2 と切片 −2t3-2t^3 は、tt が異なれば一致しないので、tt が異なる直線も異なります）。つまり、y=g(t)y=g(t) のグラフと直線 y=ay=a の共有点の個数が本数です。

g(t)g(t) を微分します。(t4)′=4t3(t^4)'=4t^3、(t3)′=3t2(t^3)'=3t^2 を使います。

g′(t)=9t3−6t2=3t2(3t−2) g'(t)=9t^3-6t^2=3t^2(3t-2)

t≠0t\neq 0 のとき 3t2>03t^2>0 なので、g′(t)g'(t) の符号は 3t−23t-2 で決まります。t<23t<\dfrac{2}{3} では g′(t)≦0g'(t)\le 0（t=0t=0 のみ 0）、t>23t>\dfrac{2}{3} では g′(t)>0g'(t)>0 です。よって g(t)g(t) は t=23t=\dfrac{2}{3} で最小になり、最小値は

g(23)=94⋅1681−2⋅827=49−1627=−427 g\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{9}{4}\cdot\frac{16}{81}-2\cdot\frac{8}{27}=\frac{4}{9}-\frac{16}{27}=-\frac{4}{27}

t→±∞t\to\pm\infty で g(t)→∞g(t)\to\infty なので、グラフは t=23t=\dfrac{2}{3} を底とする谷型です。したがって

  • a>−427a>-\dfrac{4}{27} のとき、共有点は2個 → 共通接線は 2本
  • a=−427a=-\dfrac{4}{27} のとき、共有点は1個 → 共通接線は 1本
  • a<−427a<-\dfrac{4}{27} のとき、共有点は0個 → 共通接線は 0本

この問題では、(x3)′=3x2(x^3)'=3x^2 で接線の傾きを出し、g(t)g(t) の微分でも同じ公式を使って増減を調べた ことになります。なお a=−427a=-\dfrac{4}{27} のとき、2曲線は x=23x=\dfrac{2}{3} で共通の接線 y=43x−1627y=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{16}{27} をもって接しています。

同じ単元の公式には、三角関数の微分や指数関数の微分があります。微分が物理でどう使われるかは微分と速度で扱っています。

この記事のまとめ

  • (xn)′=nxn−1(x^n)'=n x^{n-1} は、(x+h)n(x+h)^n を二項定理で展開し、hh を1個含む項だけが h→0h\to 0 で残ることから導ける。
  • nn は nC1{}_n\mathrm{C}_1、指数 n−1n-1 は割った hh の分だけ xx が減るため。
  • 因数分解 xn−an=(x−a)(⋯ )x^n-a^n=(x-a)(\cdots) を使えば、nn 個の an−1a^{n-1} の和としても導ける。
  • 接線の問題では、f′(x)f'(x) で傾きを出し、2次方程式の判別式や増減表と組み合わせる。

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